INTRODUCTIONLa commande par retour d'état suppose que l'on ait accès à tous les états du processus. En effet, les commandes U sont élaborées à partir des états X et des entrées E :
U = E - K.X
Il est donc nécessaire d'associer un capteur et sa chaîne de mesure ( amplification, traitement, numérisation dans le cas des systèmes échantillonnés etc.) à chaque variable d'état, ce qui, pour des raisons pratiques ou économiques est rarement possible. On cherchera alors à reconstruire le vecteur d'état à partir des seules informations dont on dispose:
- Les commandes U,
- Les états mesurés et en particulier les sorties Y du processus.
On fait l’hypothèse que le système est observable.
Pour reconstruire le vecteur d’état, on utilise un système dynamique appelé observateur car c'est par l'observation des signaux appliqués et recueillis sur le système qu'il procède à une reconstruction approchée 
de l'état x. Ces signaux sont déterministes ( non aléatoires ); le reconstructeur d'état est alors appelé observateur déterministe. La commande par retour d'état est alors élaborée à partir des états estimés ( figure 1 ).
Figure 1
OBSERVATEUR PAR SIMULATION BOUCLEE
Cet observateur permet de reconstruire tous les états du système. Lorsque certains états sont mesurés, il est possible d'élaborer des observateurs réduits ne reconstruisant alors que les états manquants. Ces observateurs présentent un intérêt lorsque le facteur temps intervient.
Figure 2
La structure de l'observateur est semblable à celle du système. Celui-ci étant linéaire, l'observateur sera également considéré comme un système linéaire, d'entrée le vecteur v=[u,y]T constitué des informations disponibles et de sortie l'état reconstruit 
. On peut alors lui associer une équation d'état de la forme :
Les matrices S et G sont choisies de telle manière que tende asymptotiquement vers x (quand t ® ¥ ). L'erreur sur l'état
doit donc tendre asymptotiquement vers zéro. Or :
Pour que la valeur permanente de l'erreur s'annule, elle ne doit pas dépendre de l'entrée
.
il vient
pour faire tendre
lorsque t® ¥ , cela impose A - LC = S
d'où
La matrice S représente donc la dynamique de l'observateur c'est-à-dire la vitesse avec laquelle 
tend vers x(t).
L'équation d'état de l'observateur devient :
On désigne :
la sortie reconstruite, on a alors :
Cette relation montre que l'observateur contient 2 parties :
- un simulateur du système qui utilise les mêmes matrices A, B et C
- un correcteur qui injecte dans le simulateur une commande supplémentaire proportionnelle (de gain L) à l'écart entre le signal de sortie réel y et le signal de sortie reconstruit 
. Ce correcteur effectue un bouclage sur le simulateur pour assurer la convergence de
vers x.
Si n et q désignent respectivement le nombre de variables d'état et le nombre de sorties mesurables, A est une matrice nxn et C une matrice qxn. La matrice de gains L est donc une matrice rectangulaire de dimensions nxq. Dans le cas de l'observateur identité, seule la sortie est mesurable et q = 1.
Le choix de la matrice L obéit à des considérations souvent contradictoires :
- le comportement dynamique de l'observateur doit être satisfaisant : les valeurs propres de 
doivent avoir une partie réelle négative (condition de stabilité) et leur module plus grand que celui des valeurs propres de A afin que la durée du régime transitoire de l'erreur soit plus courte que celle du régime transitoire du système. Pour simplifier, plus les gains de la matrice L sont grands, plus la dynamique de l'observateur est rapide ("plus vite il observe et mieux il reconstruit").
- les perturbations sur l'équation d'état (A,B) conduisent, si elles sont importantes, à choisir un grand gain L pour renforcer l'influence des mesures y par rapport à la simulation. Le modèle du système, donc le simulateur, est peu fiable : on fait a priori plus confiance à la mesure, c'est-à-dire au correcteur via la matrice L.
- le bruit entachant la mesure des grandeurs de sortie, amplifié par le gain L, exige une valeur petite pour L. On fait en quelque sorte plus confiance au modèle (simulateur) qu'à la mesure.
Figure 3
Dans le cas monovariable, la détermination de la matrice L s'effectue de façon semblable à la détermination de la commande par retour d'état par placement de modes.
L = [ l0 , l1 , l2 , ..., ln-1 ]T
La forme compagne verticale étudiée au § 5.3 du chapitre I permet de calculer rapidement les coefficients li. On note Lv la matrice L dans la base compagne verticale.
Av est la matrice d'évolution des états du système mise sous forme compagne verticale.
où les ai sont les coefficients du polynomes caractéristique de A ( ou Av ).
On impose à l'observateur une dynamique définie par le polynôme caractéristique de la matrice d’évolution des états de l’observateur :
Soit :
Par identification : lvi = bi - ai
Il convient alors de se ramener à la base originelle ; on a :
Av – Lv.Cv = P-1.( A - L.C ).P = Av - ( P-1.L*) .Cv'
Et
Lv = P-1.L ð L = P.Lv
Soit le système décrit par la représentation d'état :
dont on commence par établir l'observabilité en utilisant le critère de Kalman :
rang
=rang
dont le déterminant est différent de 0, le système est observable.
Le polynôme caractéristique de A a été calculé au chapitre I,
PA(l) = l² + 5.l + 4
Les modes de ce système sont l1 = -1 et l2 = -4
On écrit la représentation d'état sous forme compagne verticale :
La stratégie de placement de pôles choisie consiste à donner à l'observateur un comportement de type second ordre avec temps de réponse minimal. L'observateur doit être plus rapide que le système, on choisit pour les pôles de l'observateur :
l
1obs = -10 - 10.i l2obs = -10 + 10.iLe polynôme caractéristique Pobs(l) de [ Av - LvCv ] s'écrit :
PA-LC(l) = ( l ² + 20.l + 200 )
et la matrice [ Av – LvCv ] sous forme compagne verticale:
En posant Lv = [lv0, lv1 ] la matrice de l'observateur dans la base compagne verticale et en appliquant les résultats établis précédemment :
On applique enfin la transformation L = P.Lv ( avec P calculée au § 5.3.1 ChapI )
L = [ 35 , -10 ]T
Figure 4
THEOREME DE SEPARATION DES ETATS
La structure d'un système comportant un observateur identité et une commande par retour d'état est la suivante :
Figure 5
Pour la commande :
Pour l'observateur
et il vient :
et
il vient :
Cette équation matricielle rend compte de la commande ( x ) et de l'observation ( e ). On montre que la commande et l'observation sont découplées; en effet :
et 
dont l'équation caractéristique vérifie :
det(p.I - P ) = det(pI - A + B.K ).det(pI - A + L.C) = 0
Les modes de la commande et de l'observateur sont découplés. Pratiquement cela se traduit par le fait qu'on élabore ces l’observateur et la commande séparément
.